Des équations - Corrigé

Énoncé 

1. Résoudre les équations suivantes dans `\mathbb{R}` .
    a. `10x^2+3x-1=0`
    b. `2x^2-2\sqrt{2}x+1=0`
    c. `2x^2-4x=-5`

2. Résoudre dans `\mathbb{R}` l'équation : `x^3+2x^2-24x=0` .

3. Trouver une solution réelle de l'équation : `x^3-15x-4=0` .

Solution

1. a. Le trinôme du seconde degré `10x^2-3x+1` a pour discriminant \(\Delta=3^2-4 \times 10 \times (-1)=49\)  . Comme `\Delta >0` , l'équation `10x^2-3x+1=0`  a deux solutions : \(x_1=\dfrac{-3-\sqrt{49}}{2 \times 10} =\dfrac{-3-7}{20} =-\dfrac{1}{2}\)  et  \(x_2=\dfrac{-3+\sqrt{49}}{2 \times 10} =\dfrac{-3+7}{20} =\dfrac{1}{5}\) .
Ainsi, \(S = \left\lbrace -\dfrac{1}{2} ; \dfrac{1}{5} \right\rbrace\) .

      b. Le trinôme du seconde degré `2x^2-2\sqrt{2}x+1` a pour discriminant \(\Delta= (2 \sqrt{2})^2-4 \times 2 \times 1 = 0\) . Comme `\Delta =0` , l'équation `2x^2-2\sqrt{2}x=0`  a une unique solution réelle : \(x_0=\dfrac{2\sqrt{2}}{2 \times 2} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) .
Ainsi, \(S = \left\lbrace \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right\rbrace\) .

    c. Pour tout réel `x` , `2x^2-4x=-5 \iff 2x^2-4x +5=0` .
Et le trinôme du seconde degré `2x^2-4x +5` a pour discriminant \(\Delta= (-4)^2-4 \times 2 \times 5 = -24\)  . Comme `\Delta <0` , l'équation `2x^2-4x +5=0`  n'a pas de solution réelle, donc l'équation `2x^2-4x=-5`   n'a pas de solution réelle.
Ainsi, \(S = \emptyset\) .

2. Pour tout réel `x` ,  `x^3+2x^2-24x=0 \iff x(x^2+2x-24)=0\iff x=0 \text{ ou } x^2+2x-24=0` .
Or, le trinôme du seconde degré `x^2+2x-24` a pour discriminant \(\Delta=2^2-4 \times 1 \times (-24)=100\)  . Comme `\Delta >0` , l'équation `x^2+2x-24=0`  a deux solutions : \(x_1=\dfrac{-2-\sqrt{100}}{2 \times 1} = -6\)  et  \(x_2=\dfrac{-2+\sqrt{100}}{2 \times 1} = 4\) .
Ainsi, \(S = \left\lbrace 0; -6 ; 4 \right\rbrace\) .

3. On remarque que : \(4^3 - 15 \times 4 -4 = 0\) , donc 4 est une solution réelle de l'équation \(x^3 - 15x -4 = 0\) .